Cet exposé présente un travail en collaboration avec Ai Hua Fan dans lequel nous proposons un formalisme multifractal pour des mesures définies sur des espaces métriques de dimension infinie. Ce formalisme est exprimé en termes d’échelles plutôt que de dimensions.

Avec un choix approprié d’échelle, appelé ordre, nous obtenons ce qui semble être le premier exemple d’objet multifractal de dimension infinie : le mouvement brownien standard. Le spectre multifractal associé est déduit de l’étude des petites déviations centrées autour de trajectoires atypiques, classées selon leur régularité, telles que les trajectoires typiques des mouvements browniens fractionnaires.

Nous discuterons ensuite des nouvelles questions soulevées par ce formalisme multifractal et par cet exempl, en particulier pour les processus stochastiques et les décompositions ergodiques de systèmes mesurés.