Le théorème de la masse positive (Schoen-Yau, Witten, Bartnik, et autres) énonce, sous certaines conditions géométriques, qu'à une variété complète et non compacte qui ressemble à un espace euclidien au voisinage de l'infini, on peut associer un invariant géométrique calculé à l'infini, appelé la masse, qui est un réel positif, et dont l'annulation caractérise l'espace euclidien. Cette masse mesure le défaut qu'a une variété à être euclidienne à échelle globale.

Une nouvelle notion de masse pour les variétés asymptotiquement hyperboliques a récemment été proposée par Dahl-Kröncke-McCormick : la masse renormalisée par le volume. Dans cet exposé, je définirai cette notion, et énoncerai certaines de ses propriétés. Je montrerai enfin un théorème de la masse positive associé à cette quantité, en dimension trois, dont la preuve repose sur la formule de Gauss-Bonnet et sur une nouvelle formule de monotonie qui a le lieu le long des surfaces de niveau de la fonction de Green. Si le temps le permet, j'énoncerai également une version de ce théorème lorsque la variété possède un bord minimal.

Il s'agit d'un travail en commun avec Klaus Kröncke (KTH Stockholm) et Francesca Oronzio (SSM Naples).