Le séminaire des doctorants se propose de fournir aux doctorants une occasion de s'ouvrir aux autres domaines des mathématiques que le leur. A chaque séance, un intervenant réalise un exposé sur un fait standard de leur domaine d'étude, de niveau adapté à l'ensemble des doctorants.

Une question naturelle, et redoutablement difficile, à l’interface de la dynamique, de la topologie et de la géométrie est la suivante : étant donnée une variété différentielle, quels types de dynamiques peut-elle accueilli, et lesquels lui sont interdits ? Cette question étant bien trop vaste, nous nous concentrerons sur les obstructions topologiques à l’existence de certaines dynamiques. Un exemple frappant : en dimension 2, la seule surface compacte (orientable, mais on ne va pas s’attarder là-dessus) pouvant admettre un difféomorphisme uniformément hyperbolique  (que nous définirons) est le tore ! Pour étudier ces phénomènes, nous introduirons des modèles classiques comme les flots d’Anosov et les difféomorphismes partiellement hyperboliques, ainsi qu'un outil central de l’exposé : les feuilletages. Quelques exemples viendront éclairer ces notions. Nous discuterons alors un joli résultat de Burago–Ivanov : la sphère de dimension 3 n’admet pas de dynamique partiellement hyperbolique. Si le temps nous le permet, nous apporterons quelques éléments de preuve, sans aucun détail technique, pas d'inquiétude.

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The PhD students seminar aims to provide PhD students with an opportunity to explore other areas of mathematics beyond their own. At each session, a speaker gives a presentation on a standard topic in their field of study, at a level suitable for all doctoral students.

How do topology and dynamics interact in 3-manifolds?

Abstract: A natural, and notoriously difficult, question at the intersection of dynamics, topology, and geometry is the following: given a differentiable manifold, which types of dynamics can it support, and which are simply impossible? Since this question is far too broad, we will focus on topological obstructions to the existence of certain dynamics. A striking example is the following: in dimension 2, the only compact surface (orientable, though we will ignore that point) that can admit a uniformly hyperbolic diffeomorphism  (which we will define) is the torus! To study these phenomena, we will introduce classical models such as Anosov flows and partially hyperbolic diffeomorphisms, as well as a central tool of the talk: foliations. A few examples will help build intuition. We will then discuss a beautiful result of Burago–Ivanov: the 3-sphere does not admit any partially hyperbolic dynamics. If time permits, we will outline some ideas of the proof, without any technical details, no need to worry.