Le séminaire des doctorants se propose de fournir aux doctorants une occasion de s'ouvrir aux autres domaines des mathématiques que le leur. A chaque séance, un intervenant réalise un exposé sur un fait standard de leur domaine d'étude, de niveau adapté à l'ensemble des doctorants.

Dans son article séminal de 1959, Herbert Federer introduit la notion de portée (ou reach) d'un compact de $R^d$ et généralise un grand nombres de résultats géométriques aux ensembles à reach positif.
Parmi eux, la formule du tube en constitue un exemple iconique. Originellement découverte par Steiner pour les polygones, étendue par Minkowski aux convexes, cette dernière fut ensuite généralisée par Weyl aux sous-variétés lisses et enfin par Federer aux ensembles à reach positif. Elle décrit le comportement polynomial des volumes tubulaires d'un compact.
La démarche de Federer s'inscrit dans la théorie géométrique de la mesure dont on présentera quelques principes fondamentaux comme les incontournables formules de l'aire et de la co-aire.
Après avoir également passé en revue quelques concepts utiles comme la théorie de Morse, nous introduirons la notion de reach et présenterons la formule du tube.
Si le temps nous le permet, nous discuterons enfin de la possibilité d'une réciproque à ce résultat avec l'aide précieuse de la formule cinématique principale, ce qui reliera élégamment les concepts abordés lors de cet exposé.

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The PhD students seminar aims to provide PhD students with an opportunity to explore other areas of mathematics beyond their own. At each session, a speaker gives a presentation on a standard topic in their field of study, at a level suitable for all doctoral students.

Geometric Measure Theory, Reach and Tube Formula : an Anthology

n his seminal article of 1959, Herbert Federer introduced the notion of reach of a compact set in $R^d$, and generalized a great amount of geometric statements to sets with positive reach.
Among these statement, the tube formula is iconic. Originally discovered by Steiner for polygons, extended by Minkowski to convex sets, this formula was then generalized to smooth submanifolds by Weyl and finally to sets with positive reach by Federer. The formula describes the polynomial behavior of the tubular volumes.
Federer's approach falls within the realm of geometric measure theory, some fundamental principles of which will be highlighted such as the essential area and co-area formulas.
Having also reviewed some useful concepts such as Morse theory, we will present the notion of reach along with the tube formula.
If time allows, we shall finally discuss the possibility of a converse statement with the inestimable help from the principal kinematic formula, forging an elegant link between the various concepts studied in this talk.