L'étude des solutions d'équations diophantiennes a toujours constitué un champ important des mathématiques. D'un point de vue géométrique, il s'agit d'étudier l'ensemble des points rationnels d'une variété algébrique, ensemble au sujet duquel plusieurs questions naturelles se posent.

Est-il non vide ? Dans le cas contraire, quelles sont les obstructions à l'existence de points rationnels ?

Est-il fini ? Dans le cas contraire, que peut-on dire de quantitatif ?

Nous tentons dans cette thèse de répondre à ces questions au sein de certaines familles de variétés, explorant ainsi les aspects les plus récents autour des conjectures de Loughran--Smeets et Loughran--Rome--Sofos. Ces conjectures généralisent celle de Manin--Peyre qui fournit une prédiction sur le nombre de points rationnels de hauteur bornée d'une variété Fano lisse. Elles n'ont été vérifiées que dans très peu de cas, et comprendre la constante apparaissant dans la formule asymptotique constitue encore un véritable défi.

Dans un premier temps, on étudie le cas où la famille est paramétrée par un grand nombre de variables, ce qui permet d'appliquer la méthode du cercle de Birch. On démontre ainsi la conjecture de Loughran--Rome--Sofos dans le cas de la famille $F_0(t_0,\dots,t_n)x_0^2 + F_1(t_0,\dots,t_n)x_1^2 = F_2(t_0,\dots,t_n)x_2^2$ avec $F_0,F_1,F_2$ des formes de même degré $d$, à coefficients entiers et ayant suffisamment de variables. Pour cela, on commence par généraliser un résultat de Loughran, Rome et Sofos qui établissent la conjecture de Loughran--Smeets dans le cas des coniques diagonales du plan projectif et fournissent une prédiction quant à la valeur de la constante en général. Nous utilisons également les travaux récents de Destagnol, Lyczak et Sofos sur les moyennes de fonctions arithmétiques à plusieurs variables, évaluées en des valeurs de formes à coefficients entiers ayant un grand nombre d'indéterminées. Notre méthode s'adapte au cas de la famille de coniques $F_0(t_0,\dots,t_n)x_0^2 + F_1(t_0,\dots,t_n)x_1^2 = x_2^2$ avec $F_0$ et $F_1$ des formes de même degré $d$ pair, à coefficients entiers et ayant suffisamment de variables.

Dans un second temps, nous étudions l'autre extrémité du spectre, à savoir le cas d'une famille paramétrée par peu de variables. Nous nous intéressons plus particulièrement à des familles d'équations normiques, c'est-à-dire de la forme $N_{L/ \eQ} (x) = F(s,t)$ où $L$ est un corps de nombres abélien et $F$ est une forme quadratique binaire à coefficients entiers. Sous l'hypothèse que $\mathcal{O}_L$ est principal, nous obtenons l'ordre de grandeur pour le nombre de couples d'entiers $(s,t)$ dans $[-B,B]^2$ tels que $F(s,t)$ est la norme d'un élément de $L$. Le résultat trouvé est cohérent avec la prédiction de Loughran--Smeets, bien que pour des raisons techniques la famille étudiée ne rentre pas complètement dans le cadre de la conjecture.

Les outils utilisés dans cette thèse proviennent de la théorie analytique des nombres (cribles, formule de Perron, méthode de Selberg--Delange, méthode du cercle de Birch), de la théorie algébrique des nombres (théorie du corps de classe), de la géométrie algébrique (groupes de Brauer subordonnés) et de la géométrie des nombres (comptage de points dans les réseaux).