Cette thèse étudie la classicité des formes automorphes p-adiques et la correspondance de Langlands locale p-adique à travers la géométrie des variétés de Shimura de niveau infini et la méthode localement analytique de Pan.

La conjecture de Langlands-Clozel-Fontaine-Mazur prédit une bijection entre l'ensemble des formes automorphes et l'ensemble des représentations galoisiennes p-adiques « géométriques ». Une des méthodes pour attaquer cette conjecture qui a connu le plus grand succès est la technique p-adique, qui a abouti à des preuves relativement complètes dans le cas des formes modulaires dans les travaux de Kisin et Emerton. 

La stratégie d’Emerton consiste en deux étapes :

(1) (« Promodularité ») Si ρ est une représentation continue et résiduellement modulaire, alors on veut lui associer une représentation automorphe « p-adique ».

(2) (« Classicité ») Si on a déjà une représentation automorphe « p-adique », et si l’on suppose de plus que ρ est de Rham, alors on prouve que la représentation automorphe « p-adique » est effectivement une vraie représentation automorphe « classique ».

Dans cette thèse, nous nous concentrons sur le problème de classicité. En particulier, dans le cas des formes de Hilbert modulaires, nous prouvons la classicité dans le cas du poids parallèle. En combinant cela avec les résultats de Breuil-Herzig-Hu-Morra-Schraen, nous pouvons également en déduire de nouveaux cas de la conjecture de Langlands-Clozel-Fontaine-Mazur. 

Pour y parvenir, nous calculons les opérateurs de Fontaine partiels géométriques et étudions la classicité de la cohomologie du complexe de Fontaine de type Koszul associé. L'ingrédient géométrique clé de la preuve est l'établissement d'un transfert de Jacquet-Langlands localement analytique, qui relie la cohomologie des variétés modulaires de Hilbert à celle des variétés de Shimura quaternioniques. La preuve de ce transfert de Jacquet-Langlands localement analytique repose sur plusieurs ingrédients novateurs : (1) la comparaison des champs d'Igusa pour différentes données de Shimura quaternioniques ; (2) une théorie de Grothendieck-Messing pour les variétés de Shimura de niveau infini localement analytiques contrôlant la structure différentielle ; (3) une reformulation de la correspondance de Riemann-Hilbert logarithmique dans le cadre des champs de de Rham analytiques.