Cette thèse est consacrée à la fonctionnelle de Mumford-Shah, utilisée pour modéliser les fissures fragiles dans un matériau élastique, et plus particulièrement à son approximation par la fonctionnelle d'Ambrosio--Tortorelli. Nous nous intéressons notamment à l'analyse asymptotique des points critiques de la fonctionnelle d'Ambrosio--Tortorelli, afin d'étendre aux points critiques la convergence des minimiseurs globaux obtenue par $Gamma$-convergence. Nous commençons par présenter les fonctionnelles de Mumford--Shah et d'Ambrosio--Tortorelli et le principe de l'approximation champ de phase. Ensuite, en dimension $1$, nous établissons la convergence des points critiques dans le cas où l'on rajoute à la fonctionnelle d'Ambrosio--Tortorelli une condition d'obstacle. En dimension quelconque, la convergence des points critiques est connue sous l'hypothèse supplémentaire que l'énergie d'Ambrosio--Tortorelli converge. En dimension $2$, nous montrons ce résultat en ne supposant qu'une partie de la convergence de l'énergie. Enfin, nous étudions le système parabolique associé aux équations vérifiées par les points critiques d'Ambrosio--Tortorelli. Nous établissons l'existence, les conditions d'unicité et la régularité des solutions de ce système, et obtenons en particulier leur régularité maximale en toute dimension.