Thomas Mordant (14h-15h)

Titre : Semi-stabilité des hypersurfaces projectives singulières

Résumé : Une des motivations classiques de la théorie géométrique des invariants est la compréhension, pour deux entiers $N,d \geq 1$, de la (semi-)stabilité des « formes $d$-iques $N$-aires », c’est-à-dire des (équations des) hypersurfaces de degré $d$ dans l’espace projectif $\mathbb{P}^N_k$ sur un corps algébriquement clos $k$.

Il est bien connu depuis Mumford que les hypersurfaces lisses sont stables dès que $d \geq 3$.

Par ailleurs, la compréhension de la (semi-)stabilité des hypersurfaces projectives se ramène à un problème numérique via le critère de Hilbert-Mumford, qui a été utilisé pour obtenir des classifications complètes des hypersurfaces (semi-)stables pour des petites valeurs de $(N,d)$.

Dans cet exposé, après avoir rappelé le critère de Hilbert-Mumford, je présenterai des critères de (semi-)stabilité des hypersurfaces projectives en termes de leurs singularités, valables pour de larges classes de couples $(N,d)$, y compris dans le « cas Fano » où $d \leq N$. Ces critères s’appuient notamment sur un résultat remarquable de Benoist comparant la dimension du lieu singulier d’une hypersurface aux données numériques du critère de Hilbert-Mumford.

Omid Amini (15h30-16h30)

Titre : Un théorème de décomposition pour les modules de Lefschetz 

Résumé : Un module de Lefschetz est un module sur une algèbre graduée qui se comporte de façon très similaire à la cohomologie d’une variété projective lisse : il satisfait des analogues de la dualité de Poincaré, de la propriété de Lefschetz difficile et des relations bilinéaires de Hodge-Riemann, par rapport à un cône convexe dans la partie de degré un de l’algèbre (analogue du cône ample).

Dans un travail en collaboration avec June Huh et Matt Larson, nous étudions la décomposition d'un tel module en facteurs indécomposables lorsqu'on le considère sur un sous-anneau engendré par des éléments appartenant à l’adhérence de ce cône (analogue du cône nef).

Dans cet exposé, je parlerai de nos résultats structurels, qui reflètent le théorème de décomposition pour les morphismes de variétés projectives complexes, puis je présenterai quelques applications en géométrie algébrique et en théorie de Hodge combinatoire.