Mathematics
Orsay

Real Differentiation Results along Zygmund’s Program, Singularities and Continuous Solutions to Divergence-Type PDEs. 

Résumé : Un programme de recherche (souvent appelé « programme de Zygmund » dans la littérature) vise, depuis les années 1950, à comprendre le comportement, dans les espaces de Lebesgue ou d’Orlicz, des opérateurs maximaux de type Hardy-Littlewood associés à des familles invariantes par translation d’intervalles n-dimensionnels — et, par extension, associées à d’autres familles invariantes par translation d’objets géométriques dans l’espace euclidien de dimension n. Nous présentons, dans ce mémoire, des résultats obtenus ayant trait à ce « programme de Zygmund », et en particulier à l’obtention de conditions géométriques garantissant ou infirmant le caractère borné dans $L^p$ (ou d’autres espaces d’Orlicz tels $L\log^α L$) de ces opérateurs maximaux.
Par ailleurs, nous présentons aussi plusieurs travaux consacrés à l’existence de solutions continues, ou à la caractérisation des ensembles de singularités effaçables, pour l’équation de la divergence ou des généralisations naturelles de celle-ci à coefficients non constants.