1.2 Applications différentiables
Comme espéré, la définition de variété différentiable permet de définir les applications différentiables.
Dans la définition précédente, la différentiabilité des changements de cartes de et assure que les choix de et n’ont pas d’importance. De même, le rang de en est indépendant de ces choix, il est appelé rang de en et noté . On peut aussi définir ainsi les applications de classe entre deux variétés lisses. Sauf mention explicite du contraire, toutes les applications entre variétés seront supposées lisses.
Le théorème d’inversion locale montre que les difféomorphismes sont exactement les difféomorphismes locaux bijectifs. Les difféomorphismes d’une variété dans elle-même forment un groupe noté .
Pour alléger les notations, on pose et . On note la décomposition d’un vecteur de .
L’un des deux sens est évident. En effet, si est une sous-variété de alors, par définition, tout point de est contenu dans le domaine d’une carte vérifiant . On peut alors choisir comme la composée de et de la projection de sur parallèlement à .
L’autre sens, le plus utile en pratique, est une conséquence du théorème d’inversion locale. Quitte à rétrécir parmi les ouverts contenant , on peut supposer qu’il existe une carte . L’hypothèse de submersion signifie que la différentielle de est surjective. Quitte à composer par une application linéaire inversible, et à réduire encore un peu , on peut supposer que la restriction de à est un isomorphisme. On définit alors de dans par . Il s’agit d’un difféomorphisme local car sa différentielle vaut qui est inversible. La carte recherchée est alors , après un ultime rétrécissement de . Elle vérifie par construction.