Pour comparer des suites exactes longues en cohomologie il est souvent utile d'avoir un résultat d'algèbre homologique connu sous le nom de lemme des cinq. Il implique en particulier que si un morphisme de suites exactes courtes de complexes comporte deux applications induisant un isomorphisme en cohomologie alors la troisième fait de même.
Proposition
9.1
Dans le diagramme commutatif suivant, on suppose que les lignes sont exactes. Si , , et sont des isomorphismes alors l'est aussi.
Démonstration
On démontre en fait deux résultats un peu plus forts que l'énoncé (mais qu'il est inutile de retenir). Les deux font l'hypothèse que les lignes du diagramme sont exactes.
Si et sont surjectifs et est injectif alors est surjectif.
Si et sont injectifs et est surjectif alors est injectif.
Dans les deux démonstrations, on fait la convention de noter un élément de , un élément de etc.
Montrons l'énoncé 1. Le dessin suivant présente le cheminement de la démonstration.
Soit dont on cherche un antécédent par . Par surjectivité de , il existe tel que . Par commutativité du dernier carré . Par construction de , cela vaut , qui est nul par exactitude de la ligne du bas en . Comme est injectif, . Par exactitude de la ligne du haut en , il existe tel que . On calcule ensuite par commutativité de l'avant-dernier carré et construction de . Or par construction. Donc . Par exactitude de la ligne du bas en , il existe tel que . Par surjectivité de , il existe tel que . Par commutativité du deuxième carré, qui vaut par construction. Ainsi et est surjectif.
Montrons maintenant l'énoncé 2. Le dessin suivant présente le cheminement de la démonstration.
On suppose . Alors par commutativité de l'avant-dernier carré. Par injectivité de , on obtient . Par exactitude de la ligne du haut en , il existe tel que . Par commutativité du deuxième carré, . Or ce dernier vaut par construction de et hypothèse sur . Par exactitude de la ligne du bas en , il existe donc tel que . Par surjectivité de , il existe tel que . Par commutativité du premier carré, . Ce dernier vaut par construction. Par injectivité de , on a donc . Par exactitude de la ligne du haut en , . Or par construction donc est nul et est injectif. □