On commence par montrer que toute forme différentielle sur s'étend en forme différentielle sur . Soit un voisinage tubulaire de fourni par le théorème 3.4 et une fonction plateau qui vaut au voisinage de et est à support dans . On note l'inclusion de dans et on considère l'application d'extension

Par construction est un inverse à droite de , qui est donc surjectif. On note le sous-espace vectoriel des formes différentielles qui s'annulent en restriction à . On a donc une suite exacte courte de complexes

Le théorème 8.1 fournit une suite exacte longue qui est presque celle annoncée, sauf que la cohomologie de intervient en lieu et place de celle de . Il suffit donc de montrer que l'inclusion de dans induit un isomorphisme en cohomologie.

Montrons d'abord l'injectivité. Soit une forme fermée appartenant à . On suppose que est nulle dans , c'est à dire qu'il existe nulle en restriction à et vérifiant . On veut montrer qu'on peut remplacer par à support compact dans (car alors est bien nulle dans ). Quitte à rétrécir le voisinage tubulaire considéré ci-dessus, on peut supposer que n'intersecte pas le support de . En particulier . Ainsi est une forme fermée sur . De plus sa restriction à est nulle. L'application qui écrase chaque fibre de sur sa base est une rétraction par déformation de sur . Donc la première partie du corollaire 7.8 assure qu'il existe telle que . On pose où est l'opérateur d'extension défini précédemment. On a bien et donc est dans .

Montrons maintenant la surjectivité. Soit une forme fermée appartenant à . On veut montrer qu'il existe une forme dans telle que est dans . Comme est fermée et , la deuxième partie du corollaire 7.8 fournit une forme dans telle que . On pose . □

Soit un point de , vu comme sous-variété de dimension zéro. Le complémentaire de est difféomorphe à donc la suite exacte de paire, fournie par le théorème 8.7 est: Comme de plus est surjective, on obtient un isomorphisme entre et pour tout et . Le calcul de la cohomologie de dans le corollaire 8.5 permet de conclure.