Montrer la remarque 1.6 : deux structures de variétés et sur un même espace topologique sont égales si et seulement si l’identité est lisse de dans et inversement.

Soit et deux variétés différentiables. Montrer qu’il existe une unique structure de variété différentiable sur telle que les projections soient lisses et que, pour toute paire d’applications lisses et , l’application soit lisse.

Montrer que la sphère est une sous-variété dimension de .

Montrer que le groupe des matrices orthogonales de taille est une sous-variété de de dimension .

L’espace projectif est l’ensemble des droites vectorielles dans . On peut le voir comme quotient de par le groupe de difféomorphismes . Ce groupe agit-il proprement sur ? Montrer que l’inclusion induit une bijection de sur . En déduire l’existence d’une structure de variété différentiable sur .

On veut maintenant décrire de façon plus intrinsèque un atlas sur chaque espace projectif. Soit un -espace vectoriel de dimension finie et l’espace projectif des droites de . À chaque hyperplan de est associé l’ouvert des droites de transversales à (i.e. ). Cet ouvert est canoniquement un espace affine dirigé par : on note le projection et on définit l’action de par , c’est à dire que est le graphe de vu comme application de dans via . Ainsi chaque décomposition fournit une bijection entre un espace vectoriel et . Montrer qu’il existe une unique structure de variété différentiable sur telle que chacune de ces bijections est un difféomorphisme. Indication : si on choisit un vecteur dirigeant alors s’identifie à et l’application obtenue de vers est .

Le tore est défini comme quotient de par le sous-groupe de translations de . Montrer qu’il existe une unique structure de variété sur pour laquelle la projection est une submersion.

Montrer que est difféomorphe au produit .

Soit le sous-groupe de engendré par et . Montrer que est une variété et la décrire.

Soit la projection de sur . On note le tore troué . On note l’ouvert dans . L’inversion de centre et de rapport induit un difféomorphisme de . Dessiner la variété obtenue en recollant deux copies de via .