1.3 Quotients et recollements
Le but de cette section est de permettre la construction d’exemples de variétés sans revenir à la définition et sans savoir les plonger a priori comme sous-variétés d’exemples déjà connus.
1.3.1 Quotient par une action propre et libre
Soit un sous-groupe du groupe des difféomorphismes d’une variété . Le quotient est l’ensemble des classes d’équivalence de la relation qui identifie et pour tout dans et dans . On dit que agit proprement sur si, pour tout compact de , l’ensemble des dans envoyant sur un ensemble l’intersectant () est fini. On dit que agit librement sur si, pour tout dans , le seul élément de vérifiant est l’identité.
Soit une suite d’éléments de qui converge vers dans . Soient et des voisinages compacts de et respectivement. Tous les pour suffisamment grand vérifient que intersecte . Par hypothèse de propreté de l’action, la suite ne prend donc qu’un nombre fini de valeurs. Quitte à extraire, elle est donc constante : . On a alors donc est dans .
Supposons en outre l’action libre. Si dans n’admet pas de voisinage déplacé alors il existe une suite dans et une suite de points tendant vers tels que tende vers . Soit un voisinage compact de . Quitte à oublier un nombre fini de termes, tous les et les sont dans donc intersecte pour tout . Par hypothèse de propreté, la suite n’a qu’un nombre fini de termes, donc un seul après extraction. On note cet élément. Comme tend vers , , ce qui contredit l’hypothèse de liberté.
On montre d’abord que le quotient est un espace topologique séparé. Soient et deux éléments distinct de . Par définition, n’est pas dans l’ensemble du lemme 1.9. Comme ce dernier est fermé, il existe des voisinages et de et respectivement tels que n’intersecte pas . Par définition de , cela signifie que n’intersecte pas . Par suite et ne s’intersectent pas et et sont disjoints. Ils sont ouverts car et idem pour .
La -compacité de est claire. On construit maintenant un atlas lisse sur . Soit un élément de . La seconde partie du lemme 1.9 fournit un voisinage ouvert de déplacé par tous les éléments non-triviaux de . La restriction de à est alors un homéomorphisme, dont on note l’inverse. Quitte à rétrécir , celui-ci est contenu dans le domaine d’une carte. On a donc un atlas pour et des homéomorphismes tels que . L’ensemble des est alors un atlas de variété topologique pour . Pour chaque composante de , il existe un élément de tel que sur . Donc est un difféomorphisme.
L’unicité de la structure différentiable sur découle de la remarque 1.6. Soient et deux structures différentiables sur pour lesquelles la projection est un difféomorphisme local. Si est une section locale de comme plus haut alors est un difféomorphisme de vers et est lisse de vers . Donc est lisse de vers . Par symétrie de l’argument, l’identité est aussi lisse de dans .
1.3.2 Recollements
La définition de variété présente naturellement toute variété comme espace obtenu en recollant des ouverts de . La définition suivante formalise cette idée et permet d’aller plus loin en recollant des variétés plus complexes.
On note la restriction à de la projection canonique et on note son image.
L’unicité découle de la remarque 1.6. Suppons que et soient deux structures de variétés lisses comme dans l’énoncé. Par symétrie de la situation, il suffit de montrer que l’identité est lisse de dans . Il s’agit d’un énoncé local. Tout point de est contenu dans un . Par hypothèse, ces sont ouverts et est un difféomorphisme de sur et . L’identité de est donc la composée des deux applications lisses et .
Pour l’existence, on considère sur chaque un atlas et on équipe de l’atlas réunion des . Il s’agit bien d’un atlas lisse car les sont des difféomorphismes.