Topologie différentielle

4.1 Transversalité et images réciproques

La condition de transversalité est une condition infinitésimale (c'est-à-dire portant sur des dérivées) qui assure que la préimage d'une sous-variété par une application est une sous-variété, ce qui est une conclusion locale.

Définition 4.1
Soit une application entre variétés et une sous-variété de . On dit que est transversale sur si, en tout de , . Autrement dit, est transversale sur si, en tout de , la composée de et de la projection est surjective.

On dit que deux sous-variétés et de sont transversales si en tout point de . Cela équivaut à dire que l'inclusion de dans est transversale sur . La proposition suivante, qui est le passage promis de l'infinitésimal au local, garantit en particulier que l'intersection est alors une sous-variété de , de codimension égale à la somme des codimensions de et .

Proposition 4.2

Soit et des variétés (sans bord) et une sous-variété (sans bord). Si est transversale sur alors est une sous-variété de de même codimension que dans . Son espace tangent en un point est le noyau de projette sur son quotient . Dit autrement, la différentielle induit un isomorphisme de sur .

Si et sont des variétés à bord mais reste sans bord et est inclus dans l'intérieur de alors la même conclusion est vraie si et sa restriction sont toutes deux transversales sur . De plus a pour bord et est transversale au bord de .

Démonstration

On traite d'abord le cas sans bord. Soit un point de et son image par . D'après la proposition 1.7, il existe un ouvert contenant et une submersion tels que . Soit l'ouvert . Comme , l'autre implication de la proposition 1.7 assure qu'il suffit de vérifier que est une submersion en tout point de . C'est une simple affaire d'algèbre linéaire.

Lemme 4.3
Soit , et des espaces vectoriels, et des applications linéaires. Si est surjective et alors est surjective et induit un isomorphisme .

Démonstration
On note la projection de sur et l'application induite par de sur .
Commutative diagram
L'hypothèse de surjectivité assure que est un isomorphisme. En particulier donc induit une application injective de sur . Comme , et cette application est aussi surjective.

Dans la situation de la proposition, pour tout dans , est surjective et tandis que . Cela permet bien d'appliquer le lemme avec , , , et .

Supposons maintenant que est une variété à bord (mais pas ). Soit un point de . Si est dans l'intérieur de , il n'y a aucune différence avec la situation considérée ci-dessus. Supposons donc que est au bord de . Par définition des applications lisses en provenance d'une variété à bord, il existe une carte et un ouvert de contenant de sorte que s'étende en application lisse de vers . Localement on est donc ramenés à la situation d'une sous-variété dans l'intérieur de avec l'hypothèse que est transversale sur (donc a fortiori est transversale sur ). La discussion précédente montre que est une sous-variété de et il s'agit de montrer qu'elle est transversale à . Là encore c'est une affaire d'algèbre linéaire.

Lemme 4.4
Soit et des espaces vectoriels, un sous-espace de et une application linéaire de dans . Si la restriction de à est surjective alors .
Démonstration
Soit dans . Par hypothèse de surjectivité, il existe dans tel que . On peut donc écrire avec et .
On applique ce lemme à la composée de et de la projection sur et à sa restriction à pour conclure la démonstration.