4.1 Transversalité et images réciproques
La condition de transversalité est une condition infinitésimale (c'est-à-dire portant sur des dérivées) qui assure que la préimage d'une sous-variété par une application est une sous-variété, ce qui est une conclusion locale.
On dit que deux sous-variétés et de sont transversales si en tout point de . Cela équivaut à dire que l'inclusion de dans est transversale sur . La proposition suivante, qui est le passage promis de l'infinitésimal au local, garantit en particulier que l'intersection est alors une sous-variété de , de codimension égale à la somme des codimensions de et .
Soit et des variétés (sans bord) et une sous-variété (sans bord). Si est transversale sur alors est une sous-variété de de même codimension que dans . Son espace tangent en un point est le noyau de où projette sur son quotient . Dit autrement, la différentielle induit un isomorphisme de sur .
Si et sont des variétés à bord mais reste sans bord et est inclus dans l'intérieur de alors la même conclusion est vraie si et sa restriction sont toutes deux transversales sur . De plus a pour bord et est transversale au bord de .