8.2 Suite exacte de Mayer-Vietoris
Dans cette section, on obtient la relation promise entre les cohomologies respectives de , , et . La démonstration du théorème sera expéditive pour deux raisons. La première est le travail algébrique de la section précédente qui n'est plus à faire (et resservira dans une variante en fin de section puis une autre situation dès la section suivante). La deuxième est que l'exactitude de la suite courte de complexes pertinente (et d'autres vérifications analogues dans la suite du cours) est particulièrement facile en cohomologie de de Rham, comparée en particulier à la cohomologie singulière (qui n'est pas abordée dans ce cours). La clef est que les formes différentielles se laissent multiplier par les partitions de l'unité, au contraire des chaînes ou cochaînes singulières.
On peut maintenant reprendre l'exemple de l'introduction du chapitre avec une toute autre mesure : en toute dimension et tout degré. On peut recouvrir par deux ouverts et difféomorphes à et dont l'intersection se rétracte par déformation sur une sphère . Le calcul de la cohomologie de dans le chapitre précédant, l'invariance de la cohomologie de de Rham par équivalence d'homotopie et la suite de Mayer-Vietoris permettent alors de calculer la cohomologie de .
On sait déjà que la dimension de compte le nombre de composantes connexes. Donc pour et (ce dernier cas n'apparaît pas dans l'énoncé mais sera utile dans la récurrence sur la dimension).
Par définition, . On pose et . L'intersection se rétracte par déformation sur via
qui est bien défini car n'est jamais nul pour dans . Ainsi tous les de la suite exacte de Mayer-Vietoris sont nuls sauf pour . Donc
Si , est surjectif de dans (toute fonction localement constante sur est différence de fonctions localement constantes sur et sur ) donc on obtient en plus . Dans le cas , l'image de est de dimension un dans qui est de dimension 2 ( est constitué de deux points dans ce cas). Ainsi . De plus est nul pour , faute de combattants. On a donc la situation du diagramme suivant où chaque flèche diagonale est un isomorphisme obtenu ci-dessus tandis que les flèches horizontales et verticales sont les axes de coordonnées .
On a bien les espaces de cohomologie annoncés.Le théorème de Mayer-Vietoris existe en version à support compact. Bien sûr l'extension par zéro remplace la restriction donc toutes les flèches sont inversées. Le diagramme d'inclusions est le même que dans le théorème 8.4 mais avec des notations plus adaptées à la notation de l'extension par zéro. La démonstration est complètement analogue et on ne la détaillera pas.