8.2 Suite exacte de Mayer-Vietoris

Dans cette section, on obtient la relation promise entre les cohomologies respectives de , , et . La démonstration du théorème sera expéditive pour deux raisons. La première est le travail algébrique de la section précédente qui n'est plus à faire (et resservira dans une variante en fin de section puis une autre situation dès la section suivante). La deuxième est que l'exactitude de la suite courte de complexes pertinente (et d'autres vérifications analogues dans la suite du cours) est particulièrement facile en cohomologie de de Rham, comparée en particulier à la cohomologie singulière (qui n'est pas abordée dans ce cours). La clef est que les formes différentielles se laissent multiplier par les partitions de l'unité, au contraire des chaînes ou cochaînes singulières.

On peut maintenant reprendre l'exemple de l'introduction du chapitre avec une toute autre mesure : en toute dimension et tout degré. On peut recouvrir par deux ouverts et difféomorphes à et dont l'intersection se rétracte par déformation sur une sphère . Le calcul de la cohomologie de dans le chapitre précédant, l'invariance de la cohomologie de de Rham par équivalence d'homotopie et la suite de Mayer-Vietoris permettent alors de calculer la cohomologie de .

Le théorème de Mayer-Vietoris existe en version à support compact. Bien sûr l'extension par zéro remplace la restriction donc toutes les flèches sont inversées. Le diagramme d'inclusions est le même que dans le théorème 8.4 mais avec des notations plus adaptées à la notation de l'extension par zéro. La démonstration est complètement analogue et on ne la détaillera pas.