10.3 Théorème de Lefschetz
Le théorème 10.1 et la proposition 10.8 entraînent aussi, par un calcul à peine plus élaboré que celui qui précède, la formule de point fixe de Lefschetz. Soit une variété orientée compacte sans bord. Soit une application de dans et son graphe : . Les points fixes de correspondent aux intersections de et de la diagonale . Puisque et , ces intersections sont transversales si et seulement si, pour chaque point fixe , n'admet pas comme valeur propre (ce qui est bien la version infinitésimale de « les points fixes de sont isolés »). On dit que ces points fixes sont non dégénérés. Ils forment alors une sous-variété compacte de dimension zéro, donc un ensemble fini. La contribution d'un tel point fixe au nombre d'intersection est égale au signe de . En effet, il est positif si et seulement si, pour toute base directe de , la base de est positive. En recombinant les vecteurs de cette base sans changer l'orientation on arrive à la base qui est positive si et seulement si préserve l'orientation.
On appelle indice du point fixe de et on note ce nombre d'intersection local en .
Comme toute sous-variété suffisamment -proche de est encore le graphe d'une application de dans , le théorème de transversalité de Thom (théorème 4.9) montre que toute application est limite (en topologie pour tout ) d'applications dont les points fixes sont non dégénérés.
On note que le membre de droite ne dépend que de la classe d'homotopie de . La caractérisation cohomologie de la caractéristique d'Euler correspond au cas particulier . Le résultat général ci-dessus, dont la démonstration est une variante facile de la démonstration dans le cas , est appelé théorème de point fixe de Lefschetz car il assure l'existence de points fixes dans de nombreuses situations. Par exemple, si est homotope à l'identité, on obtient au moins un point fixe si est non nul. Si en plus les points fixes de sont non dégénérés (ce qui nécessite au pire de perturber un peu ) alors le théorème assure que a au moins points fixes. L'exemple des rotations du tore montre qu'on ne peut pas espérer de point fixe automatique si .