Présentation
Le parcours « Analyse, Arithmétique, Géométrie » est un des parcours de niveau M2 (seconde année) de la mention de Master « Mathématiques et Applications » de l’Université Paris-Saclay. Cette mention comprend également le parcours « Algèbre Appliquée » de niveau M1+M2.
Objectifs
L’objectif principal du parcours « Analyse, Arithmétique, Géométrie » (AAG) est de préparer au mieux les étudiants à une thèse en mathématiques fondamentales. La plupart des cours et enseignants sont renouvelés à fréquence de deux années pour permettre de couvrir un champ disciplinaire assez vaste. Les étudiants construisent leur formation avec un choix de cours varié.
Les disciplines représentées dans le M2 AAG incluent : théorie des nombres, géométrie algébrique, théorie de Lie, géométrie différentielle, théorie géométrique des groupes, systèmes dynamiques, analyse harmonique, équations aux dérivées partielles, etc.
Débouchés
Le parcours « Analyse, Arithmétique, Géométrie » débouche principalement sur une thèse en mathématiques fondamentales.
Modalités et inscription
L’accès se fait après examen du dossier. Les pré-requis pour le parcours AAG sont les connaissances théoriques en mathématiques analogues à celles enseignées dans le Master 1 « Mathématiques Fondamentales ».
Les inscriptions sont ouvertes et se font pour tout le monde via le site de l’Université Paris-Saclay.
Attention : L'inscription pédagogique seule au Master 2 AAG ne permet pas d’obtenir le diplôme ; il est pour cela nécessaire de faire une inscription administrative à l'établissement.
Je candidateContacts et infos pratiques
Responsables :
Emanuele Macri (Faculté des Sciences d’Orsay, Université Paris-Saclay) Email
Frédéric Paulin (Faculté des Sciences d’Orsay, Université Paris-Saclay) Email
Secrétariat pédagogique :
UPSAY (Orsay) : Séverine SIMON et Florence FERRANDIS
Tél. 01 69 15 71 53 / 5 31 66 (Bureau 1A2, Laboratoire de Mathématiques d’Orsay, Bâtiment 307, Université Paris-Saclay, ORSAY)
Horaires
Planning des cours accélérés - Rentrée de Septembre 2023 (Codes mis à jour 29/09/2023)
Année en cours :
Planning du premier semestre 2023-24 (Codes mis à jour 29/09/2023)
Planning 2nd Semestre M2 AAG - Année 2022-2023
Calendrier universitaire UPSAY 2023-2024
La réunion de rentrée aura lieu le lundi 4 septembre 2023 de 10h30 à 12h00 dans la salle 3L8, bâtiment 307 à Orsay (IMO).
Cours fondamentaux du lundi 25 septembre 2023 au vendredi 12 janvier 2024.
Examens du 22 au 26 janvier 2024.
La réunion d’information sur le 2nd semestre aura lieu en janvier 2024, bâtiment 307 à Orsay (IMO).
Les cours du 2nd semestre débuteront le 29 janvier 2024.
Jours fériés : 11 novembre - 1er avril - 1er, 8, 9 et 20 mai 2024.
Congés universitaires : du 30 octobre au 3 novembre, du 22 décembre au 8 janvier (1 semaine en février-mars et 1 semaine en avril-mai).
Programme
Le Programme ci-dessous concerne les cours AAG proprement dit.
Pour les cours communs AMS/AAG des modifications sont possibles (voir les pages dédiées au M2 AMS le cas échéant).
Parmi les enseignements de ce M2, on distingue :
- Les cours accélérés (Topologie, Géométrie Algébrique, Analyse), qui ont lieu au mois de septembre.
- Les cours fondamentaux, essentiellement au premier semestre, qui représentent un volume horaire de 72 heures.
- Les cours spécialisés du second semestre, d’environ 20 heures.
Premier semestre (30 ECTs)
Stage de rentrée
Les cours accélérés se déroulent sur 3 semaines
- Jean Lecureux : Variétés différentielles et formes différentielles - du 4 au 8 septembre 2023
Contenu
Le but de ce cours est de couvrir les bases de la géométrie différentielle en s'appuyant sur la connaissance du calcul différentiel, avec pour objectif final la cohomologie de de Rham des variétés. Pour cela nous introduirons donc les variétés, leurs fibrés tangents et cotangents, les champs de vecteurs et leurs flots, et les formes différentielles. Nous verrons alors comment intégrer ces dernières sur les variétés, ce qui nous mènera naturellement à la cohomologie de de Rham et sa célèbre dualité, la dualité de Poincaré.
- Variétés différentielles : espace tangent et cotangent, fonctions lisses
- Formes différentielles : formes exactes et fermées, lemme de Poincaré.
- Cohomologie de Rham et applications : quelques calculs, cohomologie des sphères
- Intégration des formes de degré maximum : orientation, variétés à bord
- Champ de vecteurs et formules de Lie-Cartan.
Références
- J. Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, Press. Univ. Grenoble, 1996.
- F. Paulin, Géométrie différentielle élémentaire, Notes de cours, https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~paulin/notescours/cours_geodiff.pdf
- M. Postnikov, Leçons de géométrie : Variétés différentiables, Mir, Moscou, 1990.
- M. Spivak, Differential geometry I, Publish or Perish, Wilmington, 1979.
- Benjamin Hennion : Algèbre commutative, algèbre homologique et théorie des faisceaux - du 18 au 22 septembre 2023
Résumé
We will include a review of noetherianity, localizations, Nakayama's lemma, Noether's normalization and Hilbert's Nullstellensatz and dimension theory, as well as sheaf theory and the definition of the affine scheme associated to commutative ring.
The course will end with a rapid introduction to homological algebra and the main features of this toolbox.
Contenu
Algèbre commutative, algèbre homologique et théorie des faisceaux. Comme l’indique son titre, ce cours poursuit un triple but :
- Rappeler et approfondir les connaissances d’algèbre commutative acquises en master 1 (localisation dans les anneaux commutatifs, produit tensoriel, idéaux premiers et maximaux, théorème des zéros de Hilbert, dimension et correspondance algèbre/géométrie).
- Proposer une brève introduction aux outils essentiels d’algèbre homologique (complexes, cohomologies, résolutions injectives et projectives, foncteurs dérivés).
- Développer les rudiments de théorie des faisceaux.
Références
- Introduction to commutative algebra, Atiyah-Macdonald
- Introduction to the theory of schemes, Manin
- Commutative algebra with a view towards Algebraic Geometry, Eisenbud
- Commutative Ring Theory, Matsumura
- Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Godement
- An introduction to homological algebra, Weibel
- Guy David: Eléments de Théorie spectrale et Analyse - du 11 au 15 septembre 2023
La participation à ce stage de rentrée est obligatoire pour tous les étudiants. Il est crédité par 3 ECTS au second semestre, grâce au passage d'au moins un examen sur les trois (la meilleure note est conservée).
Premier semestre (30 ECTs)
Durant le premier semestre, les étudiants doivent effectuer un stage de rentrée, puis valider 30 ECTS en choisissant parmi les cours fondamentaux ci-dessous.
Cours fondamentaux
Intitulé du cours | Enseignant | ECTS | Cours | TD | TP | Cours/TD | Cours/TP | TD/TP | Projet | Tutorat |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Équations elliptiques linéaires et non linéaires | Frédéric Rousset | 5 | 30h | |||||||
Théorie ergodique | Frédéric Paulin | 7,5 | 25h | 12,5h | ||||||
Algèbre Homologique | Benjamin Hennion | 7,5 | 25h | |||||||
Algèbres de Lie et groupes algébriques | Anne Moreau | 7,5 | 25h | |||||||
Groupes et Géométries | Daniel Monclair | 15 | 50h | 25h | ||||||
Introd. à l’analyse semi-classique | Matthieu Léautaud | 5 | 30h | |||||||
Introduction à la théorie spectrale | Stéphane Nonnenmacher | 5 | 30h | |||||||
Introduction aux variétés complexes | Susanna Zimmermann | 15 | 50h | 25h | ||||||
Systèmes dynamiques topologiques et différentiables | Frédéric Paulin | 7,5 | 25h | 12,5h | ||||||
Techniques d'analyse harmonique | Pascal Auscher | 15 | 50h | 25h | ||||||
Théorie des Nombres | Jean-Benoit Bost | 15 | 50h | 25h | ||||||
Théorie des schémas | Emanuele Macri | 15 | 50h | 25h |
Les étudiants peuvent également suivre certains cours communs avec le M2 Analyse Modélisation Simulation :
- Stéphane Nonnenmacher : Introduction à la théorie spectrale (30h) - 5 ECTS
- Matthieu Léautaud : Introduction à l’analyse semi-classique (30h) - 5 ECTS
- Frédéric Rousset : Équations dispersives (30h) - 5 ECTS
- Frédéric Rousset : Équations elliptiques linéaires et non-linéaires (30h) - 5 ECTS
Second semestre (30 ECTs)
Durant le second semestre, les étudiants doivent valider 30 ECTS en effectuant un mémoire et en choisissant au moins un cours avancé.
Les étudiants doivent obligatoirement valider auprès du responsable du M2 le nom de l’encadrant de mémoire proposé et le sujet du mémoire avant que le mémoire ne commence.
Mémoire
Intitulé du cours | Enseignant | ECTS | Cours | TD | TP | Cours/TD | Cours/TP | TD/TP | Projet | Tutorat |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
AAG - Mémoire | 21 |
Cours avancés
Intitulé du cours | Enseignant | ECTS | Cours | TD | TP | Cours/TD | Cours/TP | TD/TP | Projet | Tutorat |
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Constructions de variétés algébriques et de schémas | Jean-Benoit Bost | 6 | 36h | |||||||
Groups and Amenability | Bruno Duchesne | 6 | 20h | |||||||
Cohomologie étale et groupe de Brauer | David Harari | 6 | 20h | |||||||
Introduction à la théorie de l'indice | Martin Puchol | 6 | 20h | |||||||
Théorie KAM et renormalisation en dynamique quasi-périodique | Raphaël Krikorian | 6 | 20h | |||||||
Une introduction au flot de Ricci | Alix Deruelle | 6 | 20h | |||||||
Variétés sphériques | Nicolas Perrin | 6 | 20h |
Les étudiants peuvent également suivre certains cours communs avec le M2 Analyse Modélisation Simulation :
- Thierry Ramond : Introduction à l’étude des résonances quantiques (18h) - 3 ECTS
et le M2 Probabilités et statistiques.
Autres cours
- Anglais - 3 ECTS
- Bertrand Echeynne : Histoire des Mathématiques (25h) - 3 ECTS
Contenu
Un module d’histoire des mathématiques en master de sciences et technologie mention mathématiques répond à un double objectif, tant pour les masters recherche que les masters professionnels. Tout en permettant de travailler autrement des contenus mathématiques, il donnera l’occasion de situer des enjeux d’ordre épistémologique et d’ordre culturel de la discipline et de ses applications à travers l’histoire. En s’attachant à l’histoire de notions mathématiques, que les étudiants ont fréquentées depuis leurs études secondaires jusqu’à leur dernière année de licence, il s’agira de montrer comment ont pu se construire, dans les pratiques même de mathématiciens de différentes époques et cultures, des concepts et des résultats considérés aujourd’hui comme universels. On examinera des dispositifs scientifiques comme les outils théoriques, les modes d’argumentation, les perspectives sur la réalité mathématique et leur relation à d’autres dispositifs culturels. Le module optionnel, de 25 heures (3 ECTS), sera proposé à la fois aux étudiants de M1 et de M2 sur un semestre. Il sera organisé, dans la proportion de un tiers / deux tiers, en cours et TD. Les séances de TD seront consacrées à un travail sur des textes mathématiques originaux et la discussion de travaux de recherche (la plupart en langue anglaise).
- Séminaire des étudiants - 3 ECTS
Bourses
La Fondation Mathématique Jacques Hadamard (FMJH) offre des bourses Master Sophie Germain permettant notamment de suivre le M2 AAG, et qui s’adressent tant aux étudiants européens (espace Schengen) qu’internationaux (hors Europe).
L’Université Paris-Saclay offre des bourses de mobilité internationale niveau Master entrante, qui s’adressent aux étudiants étrangers.
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