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  • Arithmétique, Analyse, Géométrie
  • Arithmétique, Analyse, Géométrie

    Présentation

    La finalité « Analyse, Arithmétique, Géométrie » proposée à l’Université Paris-Saclay est une finalité du parcours « AAGA2 » de la mention de Master « Mathématiques et Applications » de l’Université Paris-Saclay
    Ce parcours comprend également la finalité « Algèbre Appliquée ».

     

    Objectifs

     

    L’objectif principal de la finalité « Analyse, Arithmétique, Géométrie » (AAG) est de préparer au mieux les étudiants à une thèse en mathématiques fondamentales. La plupart des cours et enseignants sont renouvelés à fréquence de deux années pour permettre de couvrir un champ disciplinaire assez vaste. Les étudiants construisent leur formation avec un choix de cours varié.

    Les disciplines représentées dans le M2 AAG incluent : théorie des nombres, géométrie algébrique, théorie de Lie, géométrie différentielle, théorie géométrique des groupes, systèmes dynamiques, analyse harmonique, équations aux dérivées partielles, etc.

     

    Débouchés

    La finalité « Analyse, Arithmétique, Géométrie » débouche principalement sur une thèse en mathématiques fondamentales.

    Modalités et inscription

    L’accès se fait après examen du dossier. Les pré-requis pour la finalité AAG sont les connaissances théoriques en mathématiques analogues à celles enseignées dans le Master 1 « Mathématiques Fondamentales ».

    Les inscriptions sont ouvertes et se font pour tout le monde via le site de l’Université Paris-Saclay. 

    Attention : L'inscription pédagogique seule au Master 2 AAG ne permet pas d’obtenir le diplôme ; il est pour cela nécessaire de faire une inscription administrative à l'établissement.

    Je candidate

    Contacts et infos pratiques

    Responsables :

    Cyril Houdayer (Faculté des Sciences d’Orsay, Université Paris-Saclay)  Email
    Emanuele Macri (Faculté des Sciences d’Orsay, Université Paris-Saclay)  Email

    Secrétariat pédagogique :

    UPSAY (Orsay) : Séverine SIMON et Florence FERRANDIS
    Tél. 01 69 15 71 53 / 5 31 66  (Bureau 1A2, Laboratoire de Mathématiques d’Orsay, Bâtiment 307, Université Paris-Saclay, ORSAY)

     

    Horaires

    Planning des cours accélérés septembre 2022

    Planning du premier semestre 2022-23

    Calendrier universitaire UPSAY 2022-2023

    La réunion de rentrée aura lieu le lundi 5 septembre 2022 de 10h30 à 12h00 dans la salle 3L8, au 3e étage du bâtiment 307 à Orsay (IMO).

     

    Sous réserve de modifications COVID :

    La réunion d’information sur le 2nd semestre aura lieu en janvier (date et lieu à définir).
    Les cours du 2nd semestre débuteront le 23 janvier 2023 (à confirmer).

    Jours fériés : 11 novembre, 10 avril, 1er, 8, 18 et 29 mai.
    Congés universitaires : du 29 octobre au 6 novembre, du 17 décembre au 2 janvier, du 25 février au 5 mars, et du 29 avril au 08 mai.

    Programme

    Le Programme 2022-2023 est à jour en ce qui concerne les cours AAG proprement dit.

    Pour les cours communs AMS/AAG des modifications sont possibles (voir les pages dédiées au M2 AMS le cas échéant).

    Parmi les enseignements de ce M2, on distingue :

    • Les cours accélérés (Topologie, Géométrie Algébrique, Analyse), qui ont lieu au mois de septembre.
    • Les cours fondamentaux, essentiellement au premier semestre, qui représentent un volume horaire de 72 heures.
    • Les cours spécialisés du second semestre, d’environ 20 heures.

    Premier semestre (30 ECTs)

    Masquer le programme de cours

     

    Stage de rentrée

    Les cours accélérés se déroulent sur 2 semaines 

    Contenu

    Le but de ce cours est de couvrir les bases de la géométrie différentielle en s'appuyant sur la connaissance du calcul différentiel, avec pour objectif final la cohomologie de de Rham des variétés. Pour cela nous introduirons donc les variétés, leurs fibrés tangents et cotangents, les champs de vecteurs et leurs flots, et les formes différentielles. Nous verrons alors comment intégrer ces dernières sur les variétés, ce qui nous mènera naturellement à la cohomologie de de Rham et sa célèbre dualité, la dualité de Poincaré. 

    • Variétés différentielles : espace tangent et cotangent, fonctions lisses
    • Formes différentielles : formes exactes et fermées, lemme de Poincaré.
    • Cohomologie de Rham et applications : quelques calculs, cohomologie des sphères
    • Intégration des formes de degré maximum : orientation, variétés à bord
    • Champ de vecteurs et formules de Lie-Cartan.

    Références

    • J. Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, Press. Univ. Grenoble, 1996.
    • F. Paulin, Géométrie différentielle élémentaire, Notes de cours, https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~paulin/notescours/cours_geodiff.pdf
    • M. Postnikov, Leçons de géométrie : Variétés différentiables, Mir, Moscou, 1990.
    • M. Spivak, Differential geometry I, Publish or Perish, Wilmington, 1979.

    Contenu

    Algèbre commutative, algèbre homologique et théorie des faisceaux. Comme l’indique son titre, ce cours poursuit un triple but :

    1. Rappeler et approfondir les connaissances d’algèbre commutative acquises en master 1 (localisation dans les anneaux commutatifs, produit tensoriel, idéaux premiers et maximaux, théorème des zéros de Hilbert, dimension et correspondance algèbre/géométrie).
    2. Proposer une brève introduction aux outils essentiels d’algèbre homologique (complexes, cohomologies, résolutions injectives et projectives, foncteurs dérivés).
    3. Développer les rudiments de théorie des faisceaux.

    Références

    • Introduction to commutative algebra, Atiyah-Macdonald
    • Introduction to the theory of schemes, Manin
    • Commutative algebra with a view towards Algebraic Geometry, Eisenbud
    • Commutative Ring Theory, Matsumura
    • Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Godement
    • An introduction to homological algebra, Weibel

      Résumé

     

     

    La participation à ce stage de rentrée est obligatoire pour tous les étudiants. Il est crédité par 3 ECTS au second semestre, grâce au passage d'au moins un examen sur les trois (la meilleure note est conservée).

     

    Premier semestre (30 ECTs)

    Durant le premier semestre, les étudiants doivent effectuer un stage de rentrée, puis valider 30 ECTS en choisissant parmi les cours fondamentaux ci-dessous.

    Cours fondamentaux

    Intitulé du cours Enseignant ECTS Cours TD TP Cours/TD Cours/TP TD/TP Projet Tutorat
    Géométrie algébrique : schémas et cohomologie
    Jean-Benoît Bost / Emanuele Macri 15 50h 25h
    Systèmes dynamiques topologiques et différentiables
    Frédéric Paulin 7,5 25h 12,5h
    Théorie ergodique
    Anne Broise / Mélanie Guénais 7,5 25h 12,5h
    Algebre Homologique
    Benjamin Hennion 7,5 25h
    Techniques d'analyse harmonique
    Pascal Auscher 15 50h 25h
    Théorie des Nombres
    Benjamin Schraen 15 50h 25h
    Groupes et Géométries
    Daniel Monclair 15 50h 25h
    Introduction aux variétés complexes
    Susanna Zimmermann 15 50h 25h

    Les étudiants peuvent également suivre certains cours communs avec le M2 Analyse Modélisation Simulation :

    • Stéphane Nonnenmacher : Introduction à la théorie spectrale (30h) - 5 ECTS
    • Matthieu Léautaud : Introduction à l’analyse semi-classique (30h) - 5 ECTS
    • Patrick Gérard : Équations dispersives (30h) - 5 ECTS
    • Frédéric Rousset : Équations elliptiques linéaires et non-linéaires (30h) - 5 ECTS


    Second semestre (30 ECTs)

    Masquer le programme de cours

    Durant le second semestre, les étudiants doivent valider 30 ECTS en effectuant un mémoire et en choisissant au moins un cours avancé.

    Les étudiants doivent obligatoirement valider auprès du responsable du M2 le nom de l’encadrant de mémoire proposé et le sujet du mémoire avant que le mémoire ne commence.

    Mémoire

    Intitulé du cours Enseignant ECTS Cours TD TP Cours/TD Cours/TP TD/TP Projet Tutorat
    Mémoire
    21 576h

    Cours avancés

    Intitulé du cours Enseignant ECTS Cours TD TP Cours/TD Cours/TP TD/TP Projet Tutorat
    Superrigidité
    Cyril Houdayer 6 20h
    Cohomologie étale et groupe de Brauer
    David Harari 6 36h
    Constructions de variétés algébriques et de schémas
    Jean-Benoît Bost 6 36h
    Introduction à la théorie de l'indice
    Martin Puchol 6 20h
    Théorie des faisceaux et topologie symplectique dans le cotangent
    Claude Viterbo 6 40h
    Théorie KAM et renormalisation en dynamique quasi-périodique
    Raphaël Krikorian 6 20h
    Algèbres de Lie, algèbres vertex et applications
    Anne Moreau 6 20h

    Les étudiants peuvent également suivre certains cours communs avec le M2 Analyse Modélisation Simulation :

    • Thierry Ramond : Introduction à l’étude des résonances quantiques (18h) - 3 ECTS

    et le M2 Probabilités et statistiques.

     

    Autres cours

    Contenu

    Un module d’histoire des mathématiques en master de sciences et technologie mention mathématiques répond à un double objectif, tant pour les masters recherche que les masters professionnels. Tout en permettant de travailler autrement des contenus mathématiques, il donnera l’occasion de situer des enjeux d’ordre épistémologique et d’ordre culturel de la discipline et de ses applications à travers l’histoire. En s’attachant à l’histoire de notions mathématiques, que les étudiants ont fréquentées depuis leurs études secondaires jusqu’à leur dernière année de licence, il s’agira de montrer comment ont pu se construire, dans les pratiques même de mathématiciens de différentes époques et cultures, des concepts et des résultats considérés aujourd’hui comme universels. On examinera des dispositifs scientifiques comme les outils théoriques, les modes d’argumentation, les perspectives sur la réalité mathématique et leur relation à d’autres dispositifs culturels. Le module optionnel, de 25 heures (3 ECTS), sera proposé à la fois aux étudiants de M1 et de M2 sur un semestre. Il sera organisé, dans la proportion de un tiers / deux tiers, en cours et TD. Les séances de TD seront consacrées à un travail sur des textes mathématiques originaux et la discussion de travaux de recherche (la plupart en langue anglaise).

    Bourses

    La Fondation Mathématique Jacques Hadamard (FMJH) offre des bourses Master Sophie Germain permettant notamment de suivre le M2 AAG, et qui s’adressent tant aux étudiants européens (espace Schengen) qu’internationaux (hors Europe).

    En savoir plus

    L’Université Paris-Saclay offre des bourses de mobilité internationale niveau Master entrante, qui s’adressent aux étudiants étrangers.

    En savoir plus

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